美国众议院

              1787年9月9月15日美国制宪会议通过的《美利坚合众国宪法》规定，宪法所确立的全部立法权均属于由参议院和众议院组成的合众国国会。参议院名额在联邦所辖各州平均分配，每州州议会选出2名参议员组成。众议院人数按联邦所辖各州的人口比例分配于各州。宪法同时规定，每名众议员所代表的人数不能少于3万，每州至少要有一名众议员。任何一项法案都必须在参、众两院同时以多数通过才能生效。

      这个宪法虽然是大州和小州妥协的产物，但却真正体现了民主与共和的真谛：众议院的席位数按各州人口比例在各州间分配，充分顾及了大州的利益，体现了民主的原则；参议院的席位每州两名，在各州之间平均分配，考虑到了小州的关切，展现了共和的精神。

     毋庸讳言，美国的民主宪政是现代民主政治的典范，具有标志性的意义。然而，两百多年过去了，美国依然没有很好地解决众议院席位分配过程中不断出现的问题。

     按照宪法的规定，美国每10年进行一次人口普查，根据各州的人口数量确定众议院席位的分配。1791年10月24日，美国完成了第一次人口普查。在此基础上联邦党人汉密尔顿提出了众议院组成方案：众议院共设120席，先将每州的人口数（每个黑人按3/5个人计入）除以宪法所规定的个议席代表的3万人，整数部分为每个州应得的初始席位，这样共有112个席位。剩余的8个席位按余数的大小进行分配，余数大的前8个州各再增加一个席位，余数小的7各州将不再获得另外的席位。

      按照汉密尔顿的方案：特拉华州的人口总数为55540，按照规则应得到的议席为1.851个，仅仅由于余数0.851排在第二位，所以就可以得到2个席位；弗吉尼亚州的人口总数是630560，按照规则应得到的席位为21.019个，但这个余数0.019却排在最后一位，因此与剩余的8个席位无缘。

     由于席位余数大小纯碎是数学上的随机事件，并不具有任何社会和政治学上的意义，因此这8个席位的分配缺乏最基本的依据，理所当然地遭到了“余数小”的州的反对。

        但人们并没有发现这个方案的漏洞。不过，细心的国务卿杰斐逊很快就发现这个方案的致命弱点：新罕布什尔州人口为141822，按照规定应得到4.727个席位，但由于“余数较大”，因而可以获得5个席位。如果该州获得5个席位，那么每个席位所代表的人数为28364人，低于宪法所规定的最低人数3万人。其实，这种情况在获得另外8个席位的州中都存在。

     当杰斐逊将这个 “bug”告诉总统华盛顿时，正在为是否批准这个方案犹豫不决的的华盛顿很快就行使了他的否决权：“经过慎重考虑，我将本法案退回两院，因为有8个州的议席代表人数低于宪法规定的3万人”。

          在杰斐逊看来，汉密尔顿的方案之所以违宪，关键就在于他没有找到一个精确的计算方法，没有找到每个议席的最佳代表人数，即最佳除数。为此，他声称自己找到了一个名为“除数法”的方案，可以弥补汉密尔顿的缺陷。杰斐逊的方案经修正后最终获得通过，同时将众议院每个议席代表的人数为3.3万，众议院的总席位为105人。

                                             “阿拉巴马悖论”

     100年之后，人们再次发现了汉密尔顿方案的不足。1880年，美国的人口达到了5000多万，亟需增加众议院的席位数量。在人口普查之后的分析过程中，统计人员发现，当众议院总席位由299个增加到300个时，亚拉巴马州获得的席位却由8席降为7席。原来，按照汉密尔顿的方案，当席位数为299个时，亚拉巴马州的配额为7.646个，由于这个余数0.646足够靠前，所以可以获得另外的一席，因此共有八个席位。但当席位增加到300个时，亚拉巴马州的配额为7.671，而这个余数0.671却不够大，不能获得另外一个席位。这就是著名的“阿拉巴马悖论”(the socalled Alabama paradox)。

      在杰斐逊方案实施过程中，人们慢慢发现小州的余数总是被抹掉而不能增加一个席位，而大州的余数却毫无悬念地总可以增加一个席位。例如特拉华州，其连续40年按比例应获得席位为1.61,1.78,1.68,1.52，但由于余数总是被莫名其妙地抹去而只能分得1个席位；而纽约州连续50年的席位为9.63,16.66,26.20,32.50,38.59，却总能获得另外一个席位。

              人们这才缓过神来，原来杰斐逊的方案天生歧视小州！不甘寂寞的前任总统亚当斯对杰斐逊的方法进行了改进，他一杰斐逊的方法为基础，唯一不同的是在找到最佳除数后，只要有余数就必进位。能言善辩的参议员韦伯斯特再也坐不住了，他认为无论杰斐逊还是亚当斯，他们的方法都过于偏激。在找到最佳除数后既不能像杰斐逊一样“去零取整”，也不能像亚当斯一样“逢余必进”，而应当严格按照数学的逻辑“四舍五入”。1842年，国会同意按照韦伯斯特的方案分配议席。

           1901年，当众院席位以1900年人口统计为基础重新按比例分配时，科罗拉多州的席位却由3席降为2席，“阿拉巴马悖论”的魔咒再次显灵。科罗拉多州议员约翰·C·贝尔谴责这是“由数学家推出的并称之为悖论的暴力”。同样受到阿拉巴马悖论影响的缅因州议员无奈地说：“这是数学和科学联合起来，把缅因州当球耍，当数学抓住缅因州的时候，愿上帝保佑她!”。

             1907年，俄克拉荷马州加入联邦。当时的国会议席共386席，俄克拉荷马州州有100万人口，按当时的标准，该州可以获得5个席位。国会经过讨论之后，提出了在众议院增加5个席位来解决俄克拉荷马州的席位问题。孰料这个方案却引起了一连串的剧烈震荡：在俄克拉荷马州分得5席之后，纽约州却减掉了1席，这个席位莫名其妙地转移到了缅因州头上。

     从1941年之后，众议院的席位确定办法一直采用亨廷顿教授的“几何平均数”方案。但这个方案也不是十全十美，蒙大拿州甚至将联邦人口普查局告上了法院。原来，1992年，蒙大拿州的人口总数比10年前增加了许多，但其议席数却要从2席降为1席。最高法院的判决既公正却又无奈：在对绝对公平的进行了足够的善意尝试之后，如果仍然确定不了那种方法最好，而且出现了无法避免的缺陷，我们最后必须遵守国会的决定。

       众议院的席位问题困扰了美国人200多年，这个问题到底到底怎么解决呢？1982年，巴林斯基和扬试图通过引进公理化的方法来解决众议院席位分配的问题。他们先给出了五条公理：

1.席位分配方案必须是对总议员数单调，即当议员总数增加或减少时，各州席位不应该与之相反。

2.席位分配方案必须在其理想席位数的临近。

3. 席位分配方案不能产生系统偏差，比如象杰弗逊方案那样偏向大州。

4.席位分配方案必须对人口单调，即人口增加或减少时，各州席位不应该与之相反。

5.席位分配方案不能产生新州悖论。

       这五条公理既考虑了民主制度的要求又不不违背基本的数理逻辑，因而是完备的。但经过反复的推演，他们的结论几乎颠覆了人们根深蒂固的观念，甚至动摇了人们对民主的信念——不违反上述公理的众议院席位分配方案在逻辑上不相容，这也就是说大多数民主国家采用的比例代表制是不完备的，完美的选举制并不存在。

      众议院的席位是不可分割的整数，而无论采用那种方案，以数学计算所产生的席位数几乎不可能是某个整数，余数的存在势必会使实际的席位数与理论值存在偏差。虽然这个偏差往往只有一个席位，但在事事较真的美国佬眼中，区区一票，影响却不可小觑。

     就像民主有着先天不足一样，数学也不是万能的。那种以为凭数学工具就可以把“一人一票，票票等值”的政治蓝图化为现实选举权的想法是天真的。同样地，那种认为由于民主政治存在这样或那样的不足就嗤之以鼻的的做法更是偏见。因为，在纯粹的数字范畴之外，追求绝对的精确本身就是不理智的。事实上，早在3000多年前，亚里斯多德曾说过：在只可能获得一个大概的情况下，满足于事物固有的精确度、停止追求完美的准确，这是头脑受过训练的标志。盖因如此，现实的障碍和壁垒并不妨碍美国人对民主政治不懈的探索和追求，从汉密尔顿、杰斐逊，韦伯斯特到亨廷顿，巴林斯基，美国的先贤们筚路蓝缕的追寻和不断创新值得世人尊重。

   两百多年的宪政进程中，美国在众议院席位分配问题上经常会遇到这样或那样的问题，但这丝毫不影响他们对民主政治的信仰。更难能可贵的是，无论问题多么棘手，他们总是能够找到解决问题的方法。这种妥协和务实恰恰正是民主政治的要义。

   数学是不完美的，民主政治也是不完美的。纷纭大千，又有什么是完美的呢？但恰恰就是这些不完美却让我们的世界丰富而有序。不完美之美才是大美！